Définitions :
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(]a,x_0[\cup]x_0,b[\)
On appelle limite à droite en \(x_0\) de \(f\) la limite de la fonction\(f_{|]x_0,b]}\) en \(x_0\)
On le note \(\underset{x\to x_0^+}{\lim} f(x)\) ou \(\underset{x\gt x_0}{\underset{x\to x_0}{\lim} } f(x)\)
On appelle limite à gauche en \(x_0\) de \(f\) la limite de la fonction\(f_{|[a,x_0[}\) en \(x_0\)
On le note \(\underset{x\to x_0^-}{\lim} f(x)\) ou \(\underset{x\lt x_0}{\underset{x\to x_0}{\lim} } f(x)\)
Exemple :
$$\lim_{x\to2^+}[x=2$$$\(\lim_{x\to2^-}[x]=1\)$
On dit que la fonction \(x\mapsto[x]\) a des limites à droite et à gauche mais pas de limite pour les entiers
]
(Limite)
Définition : \(f:]a,b[\to\Bbb R\)
On dit que \(f\) admet une limite à gauche \(\ell\in\Bbb R\) en \(b\) si \(\forall\varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0\) tel que : $$\begin{cases}x\in]a,b[\\ \lvert x-b\rvert\lt \delta\end{cases}\implies\lvert f(x)-\ell\rvert\lt \varepsilon$$
Définition : \(f:]a,b[\to\Bbb R\)
On dit que \(f\) admet une limite à droite \(\ell\in\Bbb R\) en \(b\) si \(\forall\varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0\) tel que : $$\begin{cases}x\in]a,b[\\ \lvert x-a\rvert\lt \delta\end{cases}\implies\lvert f(x)-\ell\rvert\lt \varepsilon$$
Remarque : si \(x_0\in]a,b[\), \(f:]a,b[\setminus\{x_0\}\to\Bbb R\)
On montre que : $${{\lim_{x\to x_0}f(x)}}=\ell\iff\begin{cases}{{\underset{n\underset\gt \to+\infty}\lim f(x)=\ell}}\\ {{\underset{n\underset\lt \to+\infty}\lim f(x)=\ell}}\end{cases}$$
